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Sobre a Aula
Exemplo avançado: campo elétrico gerado por uma placa infinita uniformemente carregada.
Escrito por Willy McAllister.
Exemplo: Campo elétrico perto de um plano de carga
Vamos investigar a próxima configuração interessante de carga, o campo elétrico perto de um plano de carga.
O resultado mostrará que o campo elétrico perto de um plano de carga infinito é independente da distância do plano (o campo não diminui).
Imagine que temos um plano de carga infinito.
A carga total no plano é obviamente infinita, mas o parâmetro importante é a quantidade de carga por área, a densidade de carga, .
Qual o campo elétrico devido ao plano numa distância do plano?
Exploramos a simetria do problema para configurar algumas variáveis:
- é uma linha perpendicular do plano até o local da nossa carga de teste, .
- Imagine um aro de carga no plano, centrado ao redor de onde toca o plano. O raio do aro é , e sua espessura infinitesimal é .
- é uma região infinitesimal de carga em uma seção do aro.
- Linha vai do local de para o local da carga de teste.
- é o campo elétrico no ponto criado por .
Sabemos qual o campo na posição devido a ; é a definição do campo criado por uma carga pontual,
Para calcular o campo elétrico para todo o plano, temos que fazer duas integrações:
- uma primeira integração é para varrer ao redor do seu aro para obter a contribuição ao campo de um aro particular, e
- uma segunda integração para adicionar as contribuições de todos os aros possíveis (de raio zero até raio infinito).
Varra ao redor do aro para obter a contribuição do campo de um aro particular
A construção do aro nos permite habilmente chegar à primeira integral. Todas as partes da argola estão à mesma distância de , então cada cria mesma quantidade de campo em . A simetria nos diz a contribuição total do campo de todos os em uma argola tem que apontar diretamente para fora do plano, ao longo da linha . Por quê? Porque qualquer componente lateral do campo de um específico é cancelado pelo no lado oposto do aro. A porção do campo elétrico na “direção de “, é relacionada a ,
Que resulta nisso para , o campo de uma única carga pontual ,
Em seguida, expressamos a contribuição do campo de um aro inteiro ,
é a carga total contida em um aro, a soma dos pontos individuais que compõem o aro. Isso pode ser computado sem se calcular uma integral. A carga total em um aro é a densidade de carga do plano, , vezes a área do aro,
O campo elétrico na posição de criado pelo aro com raio , contendo a carga é,
Agora sabemos o campo resultante se um aro.
Integre as contribuições de todos os aros possíveis
O próximo passo é somar todos os aros possíveis. Infelizmente, não podemos sair resolvendo essa integral. Assim como fizemos no exemplo de linha de carga, fazemos uma mudança de variável, de para .
Depois da mudança de variável, o diagrama pode ser redesenhado em função de e ,
e a equação do campo para um aro se torna,
o que pode ser simplificado um pouco mais,
Algo muito interessante aconteceu. Como resultado da mudança de variável e do cancelamento, todos os e os desapareceram! Espere. O quê?! Na expressão resultante para , NÂO há qualquer dependência da distância. Impressionante.
Quase no fim. Estamos prontos para realizar a integração,
onde é o campo elétrico total de todos os aros. Substituindo para ,
Quais são os limites dos ângulos na integração? O menor aro possível é quando é zero; coincide com , e é zero. O maior aro é quando é infinito; a linha vem de lá do horizonte em qualquer direção, e é ou radianos. Então os limites da integração vão de radianos.
O campo elétrico perto de um plano infinito é,
Conclusão
Este é o campo elétrico (a força sobre uma carga unitária positiva) perto de um plano. Surpreendentemente, a expressão do campo não contém nenhum termo referente á distância, então o campo de um plano não diminui com a distância!. Para esse plano de carga infinito imaginário, não importa se você esta a um milímetro ou um quilômetro de distância do plano, o campo elétrico é o mesmo.
Este exemplo foi para um plano de carga infinito. No mundo físico tal coisa não existe, mas o resultado se aplica muito bem a planos reais, desde que o plano seja grande se comparado com e a posição não é muito perto da borda do plano.
Revisão
Usando a noção de campo elétrico, a técnica de análise é,
- A carga cria um campo elétrico.
- O campo elétrico atua localmente em uma carga de teste.
Resumindo os três exemplos de campo elétrico trabalhados até agora,
| Campo devido a | decresce com |
|---|---|
| carga pontual | |
| linha de carga | |
| plano de carga |
Essas três configurações de carga são um conjunto de ferramentas úteis para predizer o campo elétrico em várias situações práticas.