Você vai assistir agora a mais uma aula de matemática. Nesta aula, vamos conversar sobre a expansão de Fourier para uma onda quadrada.

Temos aqui uma onda quadrada com período igual a $2\pi$. Mas como podemos representá-la? Podemos expressá-la por meio de uma série infinita de senos e cossenos ponderados. Com essa ideia, podemos determinar as expressões dos coeficientes, ou seja, a0a_0a0​, ana_nan​ (para n≠0n neq 0n=0) e bnb_nbn​.

Para uma onda quadrada específica, encontramos que a0=32a_0 = frac{3}{2}a0​=23​, enquanto an=0a_n = 0an​=0 para qualquer n≠0n neq 0n=0. Além disso, bnb_nbn​ é igual a zero quando $n$ é par e igual a 6nπfrac{6}{npi}nπ6​ quando $n$ é ímpar.

Uma forma intuitiva de interpretar isso é que a0a_0a0​ não inclui termos de cosseno, enquanto bnb_nbn​ contém apenas os termos senoidais ímpares. Isso faz sentido ao observar a onda quadrada: as funções seno mantêm a fase correta, enquanto os cossenos (como $\cos t$, $\cos 2t$, $\cos 3t$, etc.) ficam fora de fase.

Com base nesses coeficientes, podemos escrever a série de Fourier da onda quadrada como:

32+6πsin⁡(t)+63πsin⁡(3t)+65πsin⁡(5t)+…frac{3}{2} + frac{6}{pi} sin(t) + frac{6}{3pi} sin(3t) + frac{6}{5pi} sin(5t) + dots23​+π6​sin(t)+3π6​sin(3t)+5π6​sin(5t)+…

Se você quiser visualizar como essa aproximação funciona, pode usar um software gráfico ou pesquisar no Google.

Aqui temos um gráfico com apenas os dois primeiros termos:

32+6πsin⁡(t)frac{3}{2} + frac{6}{pi} sin(t)23​+π6​sin(t)

Mesmo com poucos termos, essa soma já começa a se parecer com a onda quadrada. A forma exata da onda quadrada apresenta trechos constantes seguidos por transições abruptas.

Ao adicionar 63πsin⁡(3t)frac{6}{3pi} sin(3t)3π6​sin(3t), a aproximação melhora significativamente. Com mais termos, a curva se aproxima cada vez mais da forma desejada.

Por exemplo, incluindo 67πsin⁡(7t)frac{6}{7pi} sin(7t)7π6​sin(7t), obtemos uma representação ainda mais fiel da onda quadrada.

Podemos ver, então, como essa construção emerge diretamente da matemática e como a soma de harmônicos senoidais pode aproximar uma função descontínua.

Espero que você tenha compreendido tudo direitinho! Um grande abraço, e até a próxima!