Vemos que a placa, infinita e uniformemente carregada gera um campo elétrico constante (independentemente da altura acima da placa). Versão original criada por Sal Khan.

RKA2G – Ao final do vídeo anterior, tínhamos um plano infinito carregado com densidade de carga $\sigma$. Tomamos um ponto a uma altura $h$ da superfície desse plano e queríamos calcular o campo elétrico nesse ponto, gerado por um anel de raio $r$, cujo centro está na projeção ortogonal desse ponto sobre o plano.

Verificamos que o campo elétrico foi calculado e, pela simetria analisada no vídeo anterior, constatamos que nos interessa apenas a componente $y$, ou seja, a componente vertical — ou, mais precisamente, a componente perpendicular ao plano infinito do campo elétrico. Isso ocorre porque o campo elétrico gerado por qualquer ponto do plano tem sua componente paralela ao plano cancelada pela componente horizontal do campo elétrico gerado por outro ponto diametralmente oposto ao primeiro, tendo como centro a projeção ortogonal do ponto onde se encontra a carga de prova sobre o plano.

Se tomarmos um ponto aqui, a componente paralela ao plano apontará, por exemplo, para a direita, enquanto o ponto diametralmente oposto gerará um campo elétrico cuja componente horizontal terá a mesma intensidade, porém apontando para a esquerda. Como consequência, essas componentes se cancelam.

Com base nessas ideias, ao final do vídeo anterior, calculamos cuidadosamente a componente $y$ — ou seja, a componente perpendicular ao plano infinito — do campo elétrico gerado pelo anel a uma altura $h$ do plano. Agora, o que faremos é somar todos os campos elétricos gerados por todos os anéis, variando o raio de zero até infinito, para obter a componente $y$ total do campo elétrico resultante.

Vou desenhar novamente o plano infinito, lembrando que ele se estende em todas as direções. Temos aqui o ponto a uma altura $h$ do plano, sobre o qual queremos determinar o campo elétrico. Na verdade, estamos interessados apenas na componente vertical desse campo, já que as componentes horizontais (ou seja, paralelas ao plano) se cancelam.

Já calculamos o campo elétrico e sua componente vertical devido a um anel de raio $r$, que estou representando aqui rapidamente. Agora, utilizaremos uma integral para calcular o campo elétrico total devido a todos os anéis possíveis sobre o plano infinito. Esse campo elétrico total será igual à integral do raio variando de zero até infinito. Essa integral nos fornecerá a soma de todos os campos elétricos gerados pelos anéis.

Sabemos que o campo elétrico gerado por um anel de raio $r$ é dado pela seguinte expressão:

Ey=∫0∞kh2πσr dr(h2+r2)3/2E_y = int_0^infty frac{k h 2pi sigma r , dr}{(h^2 + r^2)^{3/2}}Ey​=∫0∞​(h2+r2)3/2kh2πσrdr​

Agora, precisamos calcular essa integral. Vamos simplificá-la um pouco, retirando as constantes da expressão:

Ey=khπσ∫0∞2r dr(h2+r2)3/2E_y = k h pi sigma int_0^infty frac{2r , dr}{(h^2 + r^2)^{3/2}}Ey​=khπσ∫0∞​(h2+r2)3/22rdr​

Neste ponto, entra a parte matemática do problema. Para resolver essa integral, utilizaremos o método da substituição, que segue o caminho inverso da regra da cadeia. Definimos:

u=h2+r2u = h^2 + r^2u=h2+r2

Derivando ambos os lados em relação a $r$, temos:

$$du=2rdr$$

Substituindo na integral, obtemos:

Ey=khπσ∫0∞u−3/2 duE_y = k h pi sigma int_0^infty u^{-3/2} , duEy​=khπσ∫0∞​u−3/2du

A integral da forma ∫un duint u^n , du∫undu resulta em:

un+1n+1frac{u^{n+1}}{n+1}n+1un+1​

Aplicando isso ao nosso caso, temos:

∫u−3/2 du=u−1/2−1/2=−2u−1/2=−21h2+r2int u^{-3/2} , du = frac{u^{-1/2}}{-1/2} = -2 u^{-1/2} = -2 frac{1}{sqrt{h^2 + r^2}}∫u−3/2du=−1/2u−1/2​=−2u−1/2=−2h2+r2​1​

Agora, avaliamos essa expressão nos limites da integração ($r=0$ e $r\to \infty$):

• Para $r\to \infty$, temos h2+∞=∞sqrt{h^2 + infty} = inftyh2+∞​=∞, e $1/\infty$ tende a zero.

• Para $r=0$, temos h2=hsqrt{h^2} = hh2​=h, então $1/h$.

Aplicando esses limites, a integral resulta em:

Ey=khπσ(−2)(0−1h)E_y = k h pi sigma (-2) left( 0 – frac{1}{h} right)Ey​=khπσ(−2)(0−h1​)

Simplificando:

Ey=khπσ(2)(1h)E_y = k h pi sigma (2) left(frac{1}{h}right)Ey​=khπσ(2)(h1​)

Cancelamos $h$ no numerador e no denominador:

Ey=2kπσE_y = 2 k pi sigmaEy​=2kπσ

Esse é o campo elétrico resultante em um ponto situado a uma altura $h$ de um plano infinito carregado. O que chama a atenção nesse resultado é que ele não depende de $h$. Isso significa que a magnitude do campo elétrico não varia com a altura do ponto em relação ao plano.

Portanto, o campo elétrico é uniforme. Em qualquer ponto acima do plano carregado, a intensidade do campo elétrico será a mesma. O campo elétrico depende apenas da densidade de carga superficial $\sigma$ do plano infinito carregado, como indicado na equação.

Com isso, conseguimos demonstrar uma propriedade fundamental dos planos infinitamente carregados: o campo elétrico gerado por um plano infinito uniformemente carregado é constante em qualquer ponto acima dele. Esse conceito é essencial, por exemplo, no estudo de capacitores de placas paralelas.

Até o próximo vídeo!

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