Prova avançada da fórmula para o campo elétrico gerado por uma placa infinita carregada uniformemente. 

Versão original criada por Sal Khan.

RKA2G – Neste vídeo, vamos estudar o campo elétrico criado por um plano infinito uniformemente carregado. E por que isso é importante? Primeiro, porque aprendemos que esse campo elétrico é uniforme e amplamente utilizado na composição de capacitores de placas paralelas. Além disso, os livros de física afirmam essa uniformidade, e nós vamos provar isso.

Para fundamentar essa prova, precisamos compreender a carga em um plano infinito carregado. Vamos representar esse plano lateralmente. Imagine uma visão lateral de um plano infinito, que possui uma densidade de carga $\sigma$ (sigma), expressa em coulombs por unidade de área, ou seja, σ=cargaaˊreasigma = frac{text{carga}}{text{área}}σ=aˊreacarga​.

Antes de aprofundarmos a matemática, vale um aviso: se você chegou aqui pela playlist de cálculo, pode ser interessante revisar primeiro a playlist de física para facilitar o entendimento. Por outro lado, se está assistindo a partir da playlist de física e ainda não estudou cálculo, talvez este não seja o melhor momento para assistir a este vídeo, pois ele exige alguns conhecimentos prévios dessa área.

Agora, voltando ao nosso plano infinito carregado, vamos considerar uma carga pontual “q” posicionada a uma altura “h” acima do plano. Vamos destacar uma pequena região do plano e analisar o efeito que essa região causa sobre a carga “q”. Primeiramente, consideramos que essa carga “q” está a uma altura “h” do plano, e a projeção ortogonal dessa carga sobre o plano define um ponto de referência. Se considerarmos uma distância “r” em relação a esse ponto, qual seria a distância total até a carga “q”?

Para descobrir essa distância, podemos usar o Teorema de Pitágoras. A hipotenusa do triângulo formado será a raiz quadrada da soma dos quadrados dos catetos, ou seja:

r2+h2sqrt{r^2 + h^2}r2+h2​

Essa é a distância entre a área destacada e a carga de teste.

Agora, pense intuitivamente: se tanto a carga “q” quanto o plano estão carregados positivamente, a força eletrostática entre eles apontará para fora da área considerada. Ou seja, a força resultante será radial. Se escolhermos outra área simétrica em relação à projeção ortogonal de “q” no plano, veremos que a força elétrica resultante terá o mesmo módulo, mas em sentido oposto. Como a distribuição de carga no plano infinito é simétrica e constante em todas as direções, as componentes horizontais (ou seja, as componentes paralelas ao plano) dessas forças se cancelam.

Para visualizar melhor essa anulação, considere uma visão superior do plano infinito. Esse plano se estende infinitamente em todas as direções, e a carga “q” está posicionada acima dele, a uma altura “h”. Ao destacarmos duas regiões do plano que estão equidistantes da projeção de “q”, percebemos que as forças eletrostáticas geradas por essas regiões têm componentes horizontais opostas, que se cancelam.

Isso ocorre para todas as pequenas regiões do plano, já que ele é infinito e a distribuição de carga é uniforme. Como resultado, a força eletrostática resultante sobre a carga “q” tem apenas uma componente na direção perpendicular ao plano. Ou seja, o campo elétrico gerado pelo plano infinito é vertical.

Agora que compreendemos essa anulação das componentes paralelas, vamos focar na componente vertical do campo elétrico. Para isso, consideramos uma pequena região do plano e analisamos o campo elétrico E1E_1E1​ que ela gera sobre a carga “q”. Queremos determinar a componente vertical Ey1E_{y1}Ey1​ desse campo.

Sabemos que a componente vertical do campo elétrico E1E_1E1​ pode ser obtida multiplicando E1E_1E1​ pelo cosseno do ângulo $\theta$, onde:

cos⁡θ=hh2+r2costheta = frac{h}{sqrt{h^2 + r^2}}cosθ=h2+r2​h​

Assim, a componente vertical do campo elétrico devido a essa pequena região do plano é:

Ey1=E1⋅cos⁡θE_{y1} = E_1 cdot costhetaEy1​=E1​⋅cosθ

Agora, vamos ampliar essa análise para um anel ao redor da projeção de “q” no plano. Esse anel possui um raio “r” e uma largura infinitesimal “dr”. A área desse anel é dada por:

$$dA=2\pi rdr$$

Multiplicando essa área pela densidade de carga $\sigma$, obtemos a carga total presente no anel:

$$dQ=2\pi \sigma rdr$$

Usando a Lei de Coulomb, a força eletrostática gerada pelo anel sobre a carga “q” é:

dF=kdQ⋅q(h2+r2)dF = k frac{dQ cdot q}{(h^2 + r^2)}dF=k(h2+r2)dQ⋅q​

Dividindo essa força pela carga “q”, obtemos a magnitude do campo elétrico gerado pelo anel:

dE=kdQh2+r2dE = k frac{dQ}{h^2 + r^2}dE=kh2+r2dQ​

Agora, para obter a componente vertical desse campo, multiplicamos por $\cos \theta$:

dEy=dE⋅cos⁡θ=kdQ(h2+r2)⋅hh2+r2dE_y = dE cdot costheta = k frac{dQ}{(h^2 + r^2)} cdot frac{h}{sqrt{h^2 + r^2}}dEy​=dE⋅cosθ=k(h2+r2)dQ​⋅h2+r2​h​

Simplificando a expressão:

dEy=kh⋅(2πσr dr)(h2+r2)3/2dE_y = k frac{h cdot (2pi sigma r , dr)}{(h^2 + r^2)^{3/2}}dEy​=k(h2+r2)3/2h⋅(2πσrdr)​

Isso nos dá a componente “y” do campo elétrico gerado pelo anel.

No próximo vídeo, daremos continuidade ao raciocínio. Agora que analisamos o campo elétrico de um único anel, vamos integrar essa expressão ao longo de todos os anéis concêntricos do plano infinito, cobrindo toda a sua extensão. Isso nos permitirá obter a expressão geral para o campo elétrico gerado por um plano infinito carregado a uma altura “h”.

Até o próximo vídeo!

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