O primeiro termo em uma série de Fourier é o valor médio (termo CC) da função que está sendo aproximada. 

Versão original criada por Sal Khan.

Nos vídeos anteriores, vimos que uma função periódica pode ser representada através da Série de Fourier. Para facilitar o cálculo dos coeficientes dessa série, estabelecemos diversas propriedades de integrais envolvendo senos e cossenos no intervalo de $0$ a $2\pi$.

Neste vídeo, vamos determinar o coeficiente a0a_0a0​.

Determinação de a0a_0a0​

Para encontrar esse coeficiente, integramos a função $f(t)$ no intervalo $[0,2\pi ]$. Como $f(t)$ pode ser expressa como a soma infinita de sua Série de Fourier, temos:

∫02πf(t) dt=∫02π∑n=0∞[ancos⁡(nt)+bnsin⁡(nt)]dtint_{0}^{2pi} f(t) , dt = int_{0}^{2pi} sum_{n=0}^{infty} left[ a_n cos(n t) + b_n sin(n t) right] dt∫02π​f(t)dt=∫02π​n=0∑∞​[an​cos(nt)+bn​sin(nt)]dt

Como a integral de uma soma é a soma das integrais, podemos reescrever:

∫02πf(t) dt=∑n=0∞[an∫02πcos⁡(nt) dt+bn∫02πsin⁡(nt) dt]int_{0}^{2pi} f(t) , dt = sum_{n=0}^{infty} left[ a_n int_{0}^{2pi} cos(n t) , dt + b_n int_{0}^{2pi} sin(n t) , dt right]∫02π​f(t)dt=n=0∑∞​[an​∫02π​cos(nt)dt+bn​∫02π​sin(nt)dt]

Agora, utilizamos as propriedades que já demonstramos:

• ∫02πcos⁡(nt) dt=0int_{0}^{2pi} cos(n t) , dt = 0∫02π​cos(nt)dt=0 para n≠0n neq 0n=0.

• ∫02πsin⁡(nt) dt=0int_{0}^{2pi} sin(n t) , dt = 0∫02π​sin(nt)dt=0 para qualquer $n$.

Isso significa que todas as integrais dos termos com senos e cossenos desaparecem, restando apenas a integral do termo constante a0a_0a0​:

∫02πf(t) dt=∫02πa0 dtint_{0}^{2pi} f(t) , dt = int_{0}^{2pi} a_0 , dt∫02π​f(t)dt=∫02π​a0​dt

Como a0a_0a0​ é constante, podemos tirá-lo da integral:

∫02πf(t) dt=a0∫02πdtint_{0}^{2pi} f(t) , dt = a_0 int_{0}^{2pi} dt∫02π​f(t)dt=a0​∫02π​dt

A integral de $dt$ no intervalo de $0$ a $2\pi$ é simplesmente $2\pi$, então temos:

∫02πf(t) dt=a0(2π)int_{0}^{2pi} f(t) , dt = a_0 (2pi)∫02π​f(t)dt=a0​(2π)

Finalmente, isolamos a0a_0a0​:

a0=12π∫02πf(t) dta_0 = frac{1}{2pi} int_{0}^{2pi} f(t) , dta0​=2π1​∫02π​f(t)dt

Essa expressão é interessante porque mostra que a0a_0a0​ é o valor médio da função $f(t)$.

Interpretação

Se observarmos um gráfico da função $f(t)$, o valor de a0a_0a0​ representa a média da altura da função ao longo de um período. Isso faz sentido, pois, como a Série de Fourier é composta por funções periódicas (senos e cossenos), a função oscilará em torno desse valor médio.

Nos próximos vídeos, calcularemos exemplos específicos de a0a_0a0​ e determinaremos os outros coeficientes ana_nan​ e bnb_nbn​. Também utilizaremos um computador para visualizar como a Série de Fourier se aproxima da função real.

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