A Série de Fourier nos permite modelar qualquer sinal periódico arbitrário com uma combinação de senos e cossenos. Nesta sequência de vídeos, usamos a Série de Fourier para uma onda quadrada. 

Versão original criada por Sal Khan.

Vemos aqui uma função que é um pulso quadrado. O que podemos dizer mais sobre essa função?

Podemos observar que ela se repete ao longo do tempo: daqui até aqui, ela se repete; depois, novamente, ela se repete. Ou seja, ela possui um período de repetição de comprimento $2\pi$. Isso significa que o seu período é de $2\pi$ segundos.

Obviamente, a frequência será o inverso do período, ou seja:

f=12πf = frac{1}{2pi}f=2π1​

Isso significa que a função leva $2\pi$ segundos para completar um ciclo completo. Portanto, a cada $2\pi$ segundos, um novo ciclo é executado.

Agora, como podemos representar essa função?

Sabemos que ela tem uma certa amplitude e que, ao longo do tempo, assume valores específicos. Podemos dizer que essa função assume um determinado valor por um intervalo de tempo, depois passa a valer zero, depois retorna ao mesmo valor anterior, depois volta a ser zero, e assim sucessivamente. No entanto, escrever essa função dessa forma torna complicadas operações como integração e diferenciação.

Aqui entra um conceito fundamental: a Série de Fourier.

A Série de Fourier é uma ferramenta incrível, pois nos permite representar um pulso quadrado como uma soma de senos e cossenos. Ou seja, a função $f(t)$ pode ser descrita como:

f(t)=a0+a1cos⁡(t)+a2cos⁡(2t)+a3cos⁡(3t)+⋯+b1sin⁡(t)+b2sin⁡(2t)+b3sin⁡(3t)+…f(t) = a_0 + a_1 cos(t) + a_2 cos(2t) + a_3 cos(3t) + dots + b_1 sin(t) + b_2 sin(2t) + b_3 sin(3t) + dotsf(t)=a0​+a1​cos(t)+a2​cos(2t)+a3​cos(3t)+⋯+b1​sin(t)+b2​sin(2t)+b3​sin(3t)+…

Ao determinar os coeficientes a1,a2,a3,b1,b2,b3a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3a1​,a2​,a3​,b1​,b2​,b3​, podemos entender a contribuição de cada termo na construção da função.

Por exemplo:

• Se a1a_1a1​ for grande, o cosseno de $t$ terá uma influência significativa na função.

• Se a2a_2a2​ for grande ou pequeno, isso nos diz se o cosseno de $2t$ (que tem o dobro da frequência) tem mais ou menos peso na composição da função.

• O mesmo vale para os coeficientes b1,b2,b3b_1, b_2, b_3b1​,b2​,b3​, que indicam a influência dos senos.

À medida que aumentamos o número de termos na Série de Fourier, conseguimos aproximar a função pulso quadrado cada vez mais fielmente. Isso permite que possamos integrar ou derivar a função de maneira muito mais simples, utilizando as propriedades trigonométricas conhecidas.

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