Integral definida do produto de senos. A integral de sen(mt) * sen(nt) = 0, exceto para o caso especial quando m = n. No caso de m = n, a integral é avaliada em pi. 

Versão original criada por Sal Khan.

No estudo da Série de Fourier, estamos nos familiarizando com algumas propriedades das integrais envolvendo senos e cossenos. Já vimos várias dessas propriedades. Aqui está um resumo do que já aprendemos:

• ∫02πsin⁡(mt) dt=0int_{0}^{2pi} sin(m t) , dt = 0∫02π​sin(mt)dt=0

• ∫02πcos⁡(mt) dt=0int_{0}^{2pi} cos(m t) , dt = 0∫02π​cos(mt)dt=0, para $m\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$

• ∫02πsin⁡(mt)cos⁡(nt) dt=0int_{0}^{2pi} sin(m t) cos(n t) , dt = 0∫02π​sin(mt)cos(nt)dt=0, para quaisquer $m,n\in \mathbb{Z}$

Neste vídeo, vamos calcular a integral:

I=∫02πsin⁡(mt)sin⁡(nt) dtI = int_{0}^{2pi} sin(m t) sin(n t) , dtI=∫02π​sin(mt)sin(nt)dt

e provar que:

• Se m≠nm neq nm=n e m≠−nm neq -nm=−n, então $I=0$.

• Se $m=n$, então $I=\pi$.

Ou seja, a integral do produto de dois senos será zero quando os índices forem diferentes e $\pi$ quando os índices forem iguais.

Demonstração

Podemos utilizar a seguinte identidade trigonométrica para simplificar o produto dos senos:

sin⁡(A)sin⁡(B)=12[cos⁡(A−B)−cos⁡(A+B)]sin(A) sin(B) = frac{1}{2} left[ cos(A – B) – cos(A + B) right]sin(A)sin(B)=21​[cos(A−B)−cos(A+B)]

Substituindo na integral:

I=∫02πsin⁡(mt)sin⁡(nt) dtI = int_{0}^{2pi} sin(m t) sin(n t) , dtI=∫02π​sin(mt)sin(nt)dt =∫02π12[cos⁡((m−n)t)−cos⁡((m+n)t)]dt= int_{0}^{2pi} frac{1}{2} left[ cos((m-n)t) – cos((m+n)t) right] dt=∫02π​21​[cos((m−n)t)−cos((m+n)t)]dt

Podemos separar essa integral em duas partes:

I=12∫02πcos⁡((m−n)t) dt−12∫02πcos⁡((m+n)t) dtI = frac{1}{2} int_{0}^{2pi} cos((m-n)t) , dt – frac{1}{2} int_{0}^{2pi} cos((m+n)t) , dtI=21​∫02π​cos((m−n)t)dt−21​∫02π​cos((m+n)t)dt

Sabemos que a integral de um cosseno sobre um intervalo completo $[0,2\pi ]$ é zero, exceto quando o argumento é zero (ou seja, quando temos $\cos (0)$):

∫02πcos⁡(kt) dt=0,para qualquer k≠0int_{0}^{2pi} cos(k t) , dt = 0, quad text{para qualquer } k neq 0∫02π​cos(kt)dt=0,para qualquer k=0

Portanto, se m≠nm neq nm=n e m≠−nm neq -nm=−n, os argumentos dos cossenos serão diferentes de zero, e ambas as integrais resultam em zero, ou seja, $I=0$.

Agora, se $m=n$, temos:

I=∫02πsin⁡2(mt) dtI = int_{0}^{2pi} sin^2(m t) , dtI=∫02π​sin2(mt)dt

Usamos a identidade:

sin⁡2(x)=1−cos⁡(2x)2sin^2(x) = frac{1 – cos(2x)}{2}sin2(x)=21−cos(2x)​

Substituindo na integral:

I=∫02π1−cos⁡(2mt)2 dtI = int_{0}^{2pi} frac{1 – cos(2mt)}{2} , dtI=∫02π​21−cos(2mt)​dt

Podemos dividir essa integral em duas partes:

I=12∫02π1 dt−12∫02πcos⁡(2mt) dtI = frac{1}{2} int_{0}^{2pi} 1 , dt – frac{1}{2} int_{0}^{2pi} cos(2m t) , dtI=21​∫02π​1dt−21​∫02π​cos(2mt)dt

A primeira integral é simplesmente:

∫02π1 dt=2πint_{0}^{2pi} 1 , dt = 2pi∫02π​1dt=2π

A segunda integral é zero, pois já vimos que a integral de cosseno ao longo de um período completo é zero.

Portanto, temos:

I=12(2π)=πI = frac{1}{2} (2pi) = piI=21​(2π)=π

Conclusão

Mostramos que:

∫02πsin⁡(mt)sin⁡(nt) dt={0,se m≠n e m≠−nπ,se m=nint_{0}^{2pi} sin(m t) sin(n t) , dt = begin{cases} 0, & text{se } m neq n text{ e } m neq -n \ pi, & text{se } m = n end{cases}∫02π​sin(mt)sin(nt)dt={0,π,​se m=n e m=−nse m=n​

Essa propriedade será útil nos próximos vídeos sobre a Série de Fourier, pois nos ajuda a determinar os coeficientes da decomposição das funções.

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