Integral definida do produto de cossenos. A integral de cos(mt) * cos(nt) = 0, exceto para o caso especial quando m = n. No caso de m = n, a integral é avaliada em pi. Versão original criada por Sal Khan.

Estamos dando sequência aos vídeos para que possamos determinar os coeficientes da Série de Fourier. Neste estudo, analisamos um sinal de pulso quadrado e estabelecemos várias propriedades de integrais envolvendo senos e cossenos. Essas propriedades são fundamentais para chegarmos aos coeficientes desejados.

Já vimos que:

• ∫02πcos⁡(mt) dt=0int_{0}^{2pi} cos(m t) , dt = 0∫02π​cos(mt)dt=0 para todo m≠0m neq 0m=0.

• ∫02πsin⁡(mt)cos⁡(nt) dt=0int_{0}^{2pi} sin(m t) cos(n t) , dt = 0∫02π​sin(mt)cos(nt)dt=0, para quaisquer $m,n\in \mathbb{Z}$.

• ∫02πsin⁡(mt)sin⁡(nt) dt=0int_{0}^{2pi} sin(m t) sin(n t) , dt = 0∫02π​sin(mt)sin(nt)dt=0 se m≠nm neq nm=n e m≠−nm neq -nm=−n, e $\pi$ se m=n≠0m = n neq 0m=n=0.

Agora, vamos demonstrar mais uma propriedade essencial:

∫02πcos⁡(mt)cos⁡(nt) dtint_{0}^{2pi} cos(m t) cos(n t) , dt∫02π​cos(mt)cos(nt)dt

Mostraremos que:

• Se m≠nm neq nm=n e m≠−nm neq -nm=−n, então a integral é zero.

• Se m=n≠0m = n neq 0m=n=0, então a integral é $\pi$.

Demonstração

Podemos utilizar a identidade trigonométrica para o produto de cossenos:

cos⁡(A)cos⁡(B)=12[cos⁡(A−B)+cos⁡(A+B)]cos(A) cos(B) = frac{1}{2} [cos(A – B) + cos(A + B)]cos(A)cos(B)=21​[cos(A−B)+cos(A+B)]

Aplicando essa identidade à integral:

I=∫02πcos⁡(mt)cos⁡(nt) dtI = int_{0}^{2pi} cos(m t) cos(n t) , dtI=∫02π​cos(mt)cos(nt)dt =∫02π12[cos⁡((m−n)t)+cos⁡((m+n)t)] dt= int_{0}^{2pi} frac{1}{2} [cos((m-n)t) + cos((m+n)t)] , dt=∫02π​21​[cos((m−n)t)+cos((m+n)t)]dt

Separando os termos:

I=12∫02πcos⁡((m−n)t) dt+12∫02πcos⁡((m+n)t) dtI = frac{1}{2} int_{0}^{2pi} cos((m-n)t) , dt + frac{1}{2} int_{0}^{2pi} cos((m+n)t) , dtI=21​∫02π​cos((m−n)t)dt+21​∫02π​cos((m+n)t)dt

Sabemos que a integral de um cosseno sobre um período completo é zero, exceto quando o argumento for zero:

∫02πcos⁡(kt) dt=0,para qualquer k≠0int_{0}^{2pi} cos(k t) , dt = 0, quad text{para qualquer } k neq 0∫02π​cos(kt)dt=0,para qualquer k=0

Portanto, se m≠nm neq nm=n e m≠−nm neq -nm=−n, os argumentos dos cossenos são diferentes de zero e a integral resulta em zero.

Agora, se $m=n$, temos:

I=∫02πcos⁡2(mt) dtI = int_{0}^{2pi} cos^2(m t) , dtI=∫02π​cos2(mt)dt

Usamos a identidade:

cos⁡2(x)=1+cos⁡(2x)2cos^2(x) = frac{1 + cos(2x)}{2}cos2(x)=21+cos(2x)​

Substituindo na integral:

I=∫02π1+cos⁡(2mt)2 dtI = int_{0}^{2pi} frac{1 + cos(2mt)}{2} , dtI=∫02π​21+cos(2mt)​dt

Dividindo em duas integrais:

I=12∫02π1 dt+12∫02πcos⁡(2mt) dtI = frac{1}{2} int_{0}^{2pi} 1 , dt + frac{1}{2} int_{0}^{2pi} cos(2m t) , dtI=21​∫02π​1dt+21​∫02π​cos(2mt)dt

A primeira integral é simplesmente:

∫02π1 dt=2πint_{0}^{2pi} 1 , dt = 2pi∫02π​1dt=2π

A segunda integral é zero, pois a integral de cosseno ao longo de um período completo é zero.

Portanto, temos:

I=12(2π)=πI = frac{1}{2} (2pi) = piI=21​(2π)=π

Conclusão

Mostramos que:

∫02πcos⁡(mt)cos⁡(nt) dt={0,se m≠n e m≠−nπ,se m=n≠0int_{0}^{2pi} cos(m t) cos(n t) , dt = begin{cases} 0, & text{se } m neq n text{ e } m neq -n \ pi, & text{se } m = n neq 0 end{cases}∫02π​cos(mt)cos(nt)dt={0,π,​se m=n e m=−nse m=n=0​

Essa propriedade será fundamental para calcular os coeficientes da Série de Fourier.

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