Integral definida do produto de seno e cosseno. Integrando sen(mt) * cos(nt) ao longo de um período período completo igual a zero para qualquer inteiro m e n. 

Versão original criada por Sal Khan.

Nos vídeos anteriores, vimos que uma função, como um pulso quadrado, pode ser representada através da Série de Fourier, que consiste na soma de senos e cossenos.

Também verificamos algumas propriedades fundamentais dessas funções. Em particular, vimos que:

∫02πsin⁡(mt) dt=0int_{0}^{2pi} sin(m t) , dt = 0∫02π​sin(mt)dt=0 ∫02πcos⁡(mt) dt=0int_{0}^{2pi} cos(m t) , dt = 0∫02π​cos(mt)dt=0

para qualquer $m\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$.

Agora, neste vídeo, vamos analisar a integral do produto entre seno e cosseno, ou seja:

I=∫02πsin⁡(mt)cos⁡(nt) dtI = int_{0}^{2pi} sin(m t) cos(n t) , dtI=∫02π​sin(mt)cos(nt)dt

onde $m$ e $n$ são números inteiros.

Resolvendo a Integral

Para resolver essa integral, utilizamos uma identidade trigonométrica importante:

sin⁡(A)cos⁡(B)=12[sin⁡(A+B)+sin⁡(A−B)]sin(A) cos(B) = frac{1}{2} left[ sin(A+B) + sin(A-B) right]sin(A)cos(B)=21​[sin(A+B)+sin(A−B)]

Aplicando essa identidade à nossa integral, temos:

I=∫02πsin⁡(mt)cos⁡(nt) dtI = int_{0}^{2pi} sin(m t) cos(n t) , dtI=∫02π​sin(mt)cos(nt)dt =∫02π12[sin⁡((m+n)t)+sin⁡((m−n)t)]dt= int_{0}^{2pi} frac{1}{2} left[ sin((m+n)t) + sin((m-n)t) right] dt=∫02π​21​[sin((m+n)t)+sin((m−n)t)]dt

Podemos separar essa integral em duas partes:

I=12∫02πsin⁡((m+n)t) dt+12∫02πsin⁡((m−n)t) dtI = frac{1}{2} int_{0}^{2pi} sin((m+n)t) , dt + frac{1}{2} int_{0}^{2pi} sin((m-n)t) , dtI=21​∫02π​sin((m+n)t)dt+21​∫02π​sin((m−n)t)dt

No vídeo anterior, já demonstramos que a integral de seno sobre um intervalo completo de $0$ a $2\pi$ é zero para qualquer número inteiro k≠0k neq 0k=0:

∫02πsin⁡(kt) dt=0,para qualquer k≠0int_{0}^{2pi} sin(k t) , dt = 0, quad text{para qualquer } k neq 0∫02π​sin(kt)dt=0,para qualquer k=0

No nosso caso, os argumentos dos senos são $m+n$ e $m-n$, ambos inteiros, então ambas as integrais resultam em zero:

12⋅0+12⋅0=0frac{1}{2} cdot 0 + frac{1}{2} cdot 0 = 021​⋅0+21​⋅0=0

Portanto, a integral do produto entre seno e cosseno também é zero:

∫02πsin⁡(mt)cos⁡(nt) dt=0,para qualquer m,n∈Zint_{0}^{2pi} sin(m t) cos(n t) , dt = 0, quad text{para qualquer } m, n in mathbb{Z}∫02π​sin(mt)cos(nt)dt=0,para qualquer m,n∈Z

Conclusão

Demonstramos que a integral do produto de seno e cosseno em um ciclo completo é sempre zero, o que será útil para os próximos vídeos sobre a Série de Fourier e suas aplicações.

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