Integrar sen(mt) e cos(mt) ao longo de um período completo igual a zero. 

Versão original criada por Sal Khan.

No vídeo passado, vimos que podemos representar uma função pulso quadrado utilizando a Série de Fourier, onde somamos termos de senos e cossenos.

Como vamos trabalhar bastante com essas funções, é importante verificar algumas de suas propriedades fundamentais.

Propriedade das integrais de seno e cosseno

Vamos analisar, primeiramente, a seguinte integral:

I=∫02πsin⁡(mt) dtI = int_{0}^{2pi} sin(m t) , dtI=∫02π​sin(mt)dt

Se o intervalo de integração vai de $0$ até $2\pi$ e $m$ é um número inteiro não nulo ($m\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$), podemos observar que a função seno se repete dentro desse intervalo. Isso significa que as áreas positivas e negativas se cancelam, levando à seguinte conclusão:

∫02πsin⁡(mt) dt=0int_{0}^{2pi} sin(m t) , dt = 0∫02π​sin(mt)dt=0

O mesmo raciocínio se aplica à integral do cosseno:

∫02πcos⁡(mt) dt=0int_{0}^{2pi} cos(m t) , dt = 0∫02π​cos(mt)dt=0

Agora, vamos demonstrar matematicamente essa propriedade.

Demonstração

Sabemos que a derivada do cosseno é o seno negativo:

ddtcos⁡(mt)=−msin⁡(mt)frac{d}{dt} cos(m t) = -m sin(m t)dtd​cos(mt)=−msin(mt)

Com isso, podemos expressar a integral do seno como a primitiva do cosseno:

∫sin⁡(mt) dt=−1mcos⁡(mt)int sin(m t) , dt = -frac{1}{m} cos(m t)∫sin(mt)dt=−m1​cos(mt)

Agora, aplicamos os limites de integração:

I=[−1mcos⁡(mt)]02πI = left[ -frac{1}{m} cos(m t) right]_{0}^{2pi}I=[−m1​cos(mt)]02π​

Substituindo:

I=−1m[cos⁡(m⋅2π)−cos⁡(0)]I = -frac{1}{m} left[ cos(m cdot 2pi) – cos(0) right]I=−m1​[cos(m⋅2π)−cos(0)]

Sabemos que, para qualquer número inteiro $m$:

$$\cos (m\cdot 2\pi )=\cos (0)=1$$

Portanto:

I=−1m(1−1)=−1m⋅0=0I = -frac{1}{m} (1 – 1) = -frac{1}{m} cdot 0 = 0I=−m1​(1−1)=−m1​⋅0=0

Ou seja, a integral do seno de um múltiplo inteiro de $t$ em um ciclo completo sempre resulta em zero.

Agora, provemos o mesmo para o cosseno.

Sabemos que a derivada do seno é o cosseno:

ddtsin⁡(mt)=mcos⁡(mt)frac{d}{dt} sin(m t) = m cos(m t)dtd​sin(mt)=mcos(mt)

Logo, a integral do cosseno é dada por:

∫cos⁡(mt) dt=1msin⁡(mt)int cos(m t) , dt = frac{1}{m} sin(m t)∫cos(mt)dt=m1​sin(mt)

Aplicamos os limites de integração:

J=[1msin⁡(mt)]02πJ = left[ frac{1}{m} sin(m t) right]_{0}^{2pi}J=[m1​sin(mt)]02π​

Substituindo:

J=1m[sin⁡(m⋅2π)−sin⁡(0)]J = frac{1}{m} left[ sin(m cdot 2pi) – sin(0) right]J=m1​[sin(m⋅2π)−sin(0)]

Sabemos que:

$$\sin (m\cdot 2\pi )=\sin (0)=0$$

Portanto:

J=1m(0−0)=0J = frac{1}{m} (0 – 0) = 0J=m1​(0−0)=0

Conclusão

Mostramos, portanto, que:

∫02πsin⁡(mt) dt=0int_{0}^{2pi} sin(m t) , dt = 0∫02π​sin(mt)dt=0 ∫02πcos⁡(mt) dt=0int_{0}^{2pi} cos(m t) , dt = 0∫02π​cos(mt)dt=0

Essas propriedades serão essenciais para os próximos vídeos, pois são fundamentais no estudo da Série de Fourier e suas aplicações.

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