Encontrar os coeficientes de Fourier para uma onda quadrada. 

Versão original criada por Sal Khan.

Agora que conhecemos as equações que determinam os coeficientes da Série de Fourier, podemos representar a função pulso quadrado como uma soma de senos e cossenos. Em seguida, podemos visualizar graficamente no computador e comparar a aproximação feita pela Série de Fourier com a função original.

Cálculo dos coeficientes

Vamos começar pelo coeficiente a0a_0a0​.

Sabemos que:

a0=12π∫02πf(t) dta_0 = frac{1}{2pi} int_0^{2pi} f(t) , dta0​=2π1​∫02π​f(t)dt

Analisando a função $f(t)$, percebemos que ela é periódica com período $2\pi$ e assume os seguintes valores:

• No intervalo $0\le t<\pi$, $f(t)=3$.

• No intervalo $\pi \le t<2\pi$, $f(t)=0$.

Podemos dividir a integral em duas partes:

a0=12π(∫0π3 dt+∫π2π0 dt)a_0 = frac{1}{2pi} left( int_0^{pi} 3 , dt + int_{pi}^{2pi} 0 , dt right)a0​=2π1​(∫0π​3dt+∫π2π​0dt)

Como a segunda integral é zero, resta apenas a primeira:

a0=12π∫0π3 dta_0 = frac{1}{2pi} int_0^{pi} 3 , dta0​=2π1​∫0π​3dt

Calculando:

a0=12π⋅3t∣0π=12π⋅3π=32a_0 = frac{1}{2pi} cdot 3t Big|_0^{pi} = frac{1}{2pi} cdot 3pi = frac{3}{2}a0​=2π1​⋅3t​0π​=2π1​⋅3π=23​

Ou seja, a0=32a_0 = frac{3}{2}a0​=23​.

Isso faz sentido, pois a0a_0a0​ representa o valor médio da função, e o valor médio de um pulso quadrado simétrico é exatamente a metade de seu valor máximo.

Agora, vamos calcular os coeficientes ana_nan​.

Sabemos que:

an=1π∫02πf(t)cos⁡(nt) dta_n = frac{1}{pi} int_0^{2pi} f(t) cos(n t) , dtan​=π1​∫02π​f(t)cos(nt)dt

Como já vimos, no intervalo $\pi \le t<2\pi$, $f(t)=0$, então basta integrar de $0$ a $\pi$:

an=1π∫0π3cos⁡(nt) dta_n = frac{1}{pi} int_0^{pi} 3 cos(n t) , dtan​=π1​∫0π​3cos(nt)dt

Podemos colocar o $3$ para fora da integral:

an=3π∫0πcos⁡(nt) dta_n = frac{3}{pi} int_0^{pi} cos(n t) , dtan​=π3​∫0π​cos(nt)dt

Sabemos que a integral do cosseno é:

∫cos⁡(nt) dt=sin⁡(nt)nint cos(n t) , dt = frac{sin(n t)}{n}∫cos(nt)dt=nsin(nt)​

Aplicando os limites:

an=3π⋅sin⁡(nt)n∣0πa_n = frac{3}{pi} cdot frac{sin(n t)}{n} Big|_0^{pi}an​=π3​⋅nsin(nt)​​0π​

Sabemos que $\sin (n\pi )=0$ e $\sin (0)=0$, então:

an=3π⋅0−0n=0a_n = frac{3}{pi} cdot frac{0 – 0}{n} = 0an​=π3​⋅n0−0​=0

Portanto, todos os coeficientes ana_nan​ são zero. Isso confirma que a função pulso quadrado não possui termos de cosseno na sua Série de Fourier.

Agora, vamos calcular os coeficientes bnb_nbn​.

Sabemos que:

bn=1π∫02πf(t)sin⁡(nt) dtb_n = frac{1}{pi} int_0^{2pi} f(t) sin(n t) , dtbn​=π1​∫02π​f(t)sin(nt)dt

Assim como antes, podemos considerar apenas o intervalo $0\le t<\pi$, pois fora dele $f(t)=0$:

bn=1π∫0π3sin⁡(nt) dtb_n = frac{1}{pi} int_0^{pi} 3 sin(n t) , dtbn​=π1​∫0π​3sin(nt)dt

Colocando o $3$ para fora:

bn=3π∫0πsin⁡(nt) dtb_n = frac{3}{pi} int_0^{pi} sin(n t) , dtbn​=π3​∫0π​sin(nt)dt

Sabemos que a integral do seno é:

∫sin⁡(nt) dt=−cos⁡(nt)nint sin(n t) , dt = -frac{cos(n t)}{n}∫sin(nt)dt=−ncos(nt)​

Aplicando os limites:

bn=3π⋅[−cos⁡(nt)n]0πb_n = frac{3}{pi} cdot left[ -frac{cos(n t)}{n} right]_0^{pi}bn​=π3​⋅[−ncos(nt)​]0π​

Sabemos que $\cos (0)=1$ e cos⁡(nπ)=(−1)ncos(npi) = (-1)^ncos(nπ)=(−1)n, então:

bn=3π⋅[−(−1)n−1n]b_n = frac{3}{pi} cdot left[ -frac{(-1)^n – 1}{n} right]bn​=π3​⋅[−n(−1)n−1​] bn=3π⋅1−(−1)nnb_n = frac{3}{pi} cdot frac{1 – (-1)^n}{n}bn​=π3​⋅n1−(−1)n​

Se $n$ for par, (−1)n=1(-1)^n = 1(−1)n=1, então $1-1=0$, ou seja, bn=0b_n = 0bn​=0 para todo $n$ par.

Se $n$ for ímpar, (−1)n=−1(-1)^n = -1(−1)n=−1, então $1-(-1)=2$, e temos:

bn=3π⋅2n=6nπb_n = frac{3}{pi} cdot frac{2}{n} = frac{6}{npi}bn​=π3​⋅n2​=nπ6​

Portanto, os coeficientes bnb_nbn​ são zero para $n$ par e 6nπfrac{6}{npi}nπ6​ para $n$ ímpar.

Construção da Série de Fourier

Agora podemos expressar a função pulso quadrado como uma soma infinita de senos:

f(t)=32+∑n ıˊmpar6nπsin⁡(nt)f(t) = frac{3}{2} + sum_{n text{ ímpar}} frac{6}{npi} sin(n t)f(t)=23​+n ıˊmpar∑​nπ6​sin(nt)

Substituindo os primeiros termos ímpares $(n=1,3,5,7,\dots )$:

f(t)≈32+6πsin⁡(t)+63πsin⁡(3t)+65πsin⁡(5t)+67πsin⁡(7t)+…f(t) approx frac{3}{2} + frac{6}{pi} sin(t) + frac{6}{3pi} sin(3t) + frac{6}{5pi} sin(5t) + frac{6}{7pi} sin(7t) + dotsf(t)≈23​+π6​sin(t)+3π6​sin(3t)+5π6​sin(5t)+7π6​sin(7t)+…

Quanto mais termos adicionamos, mais essa soma se aproxima da função pulso quadrado original. Essa é a essência da Série de Fourier: representar uma função periódica por uma soma infinita de senos e cossenos.

Se implementarmos essa série no computador e plotarmos o gráfico para um número crescente de termos, veremos que a soma das ondas senoidais começa a formar uma aproximação cada vez melhor do pulso quadrado.

Nos próximos vídeos, veremos como essa soma se comporta graficamente e como os efeitos de Gibbs surgem quando tentamos representar funções descontínuas com séries de Fourier. 🚀

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