Coeficientes de Fourier para os termos do cosseno

Curso de Engenharia Elétrica

Sobre a Aula

Coeficientes de Fourier para os termos do cosseno.

Versão original criada por Sal Khan.

No vídeo passado, determinamos o coeficiente $a_0$ . Para isso, integramos ambos os lados da Série de Fourier no intervalo $[0, 2 π]$ . Como a integral de um seno ou cosseno de um número inteiro no intervalo de um período é zero, todos esses termos desapareceram, restando apenas $a_0$ .

Chegamos, assim, à expressão:

$dta_0 = frac{1}{2pi} int_0^{2pi} f(t) , dt$

Neste vídeo, vamos determinar o coeficiente $a_n$ .

Determinação de $a_n$

Para encontrar $a_n$ , utilizamos um artifício matemático: multiplicamos ambos os lados da Série de Fourier por $cos (n t)$ e integramos de $0$ a $2 π$ .

Ou seja, multiplicamos:

$a_0 + sum_{n=1}^{infty} left[ a_n cos(n t) + b_n sin(n t) right]$

por $cos (n t)$ , resultando em:

$a_0 cos(n t) + sum_{n=1}^{infty} a_n cos(n t) cos(n t) + sum_{n=1}^{infty} b_n sin(n t) cos(n t)$

Agora, integramos ambos os lados no intervalo $[0, 2 π]$ :

$dtint_0^{2pi} f(t) cos(n t) , dt = int_0^{2pi} a_0 cos(n t) , dt + sum_{n=1}^{infty} int_0^{2pi} a_n cos^2(n t) , dt + sum_{n=1}^{infty} int_0^{2pi} b_n sin(n t) cos(n t) , dt$

Agora, aplicamos as propriedades das integrais trigonométricas que já demonstramos:

$dt=0int_0^{2pi} cos(n t) , dt = 0$ , para $n \neq = 0$ .
$dt=0int_0^{2pi} sin(n t) cos(n t) , dt = 0$ , para quaisquer valores inteiros de $n$ .
$dt=πint_0^{2pi} cos^2(n t) , dt = pi$ .

Com essas propriedades, os termos contendo senos desaparecem, assim como o termo com $a_0$ , pois sua integral resulta em zero.

Restamos com:

$dtint_0^{2pi} f(t) cos(n t) , dt = a_n int_0^{2pi} cos^2(n t) , dt$

Substituindo $dt=πint_0^{2pi} cos^2(n t) , dt = pi$ , obtemos:

$dt=an⋅πint_0^{2pi} f(t) cos(n t) , dt = a_n cdot pi$

Finalmente, isolamos $a_n$ :

$dta_n = frac{1}{pi} int_0^{2pi} f(t) cos(n t) , dt$

Conclusão

Dessa forma, encontramos a fórmula geral para o coeficiente $a_n$ da Série de Fourier. Esse resultado nos permite calcular os coeficientes para qualquer função periódica $f (t)$ .

Nos próximos vídeos, aplicaremos essa fórmula a funções específicas e analisaremos o comportamento da Série de Fourier na aproximação dessas funções.

Versão original criada por Sal Khan.

Determinação de ana_nan​

Conclusão

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Determinação de $a_n$