Coeficientes de Fourier para os termos de seno

Curso de Engenharia Elétrica

Sobre a Aula

Coeficientes de Fourier para os termos de seno.

Versão original criada por Sal Khan.

Nos vídeos anteriores, vimos como determinar os coeficientes $a_0$ e $a_n$ . Neste vídeo, vamos encontrar o coeficiente $b_n$ , que depende dos termos em seno na Série de Fourier.

Determinação de $b_n$

O artifício matemático que utilizaremos é o mesmo que usamos para encontrar $a_n$ , mas agora multiplicaremos a Série de Fourier por $sin (n t)$ e integraremos no intervalo $[0, 2 π]$ .

Ou seja, multiplicamos a equação

$a_0 + sum_{n=1}^{infty} left[ a_n cos(n t) + b_n sin(n t) right]$

por $sin (n t)$ e integramos:

$dtint_0^{2pi} f(t) sin(n t) , dt = int_0^{2pi} a_0 sin(n t) , dt + sum_{n=1}^{infty} int_0^{2pi} a_n cos(n t) sin(n t) , dt + sum_{n=1}^{infty} int_0^{2pi} b_n sin(n t) sin(n t) , dt$

Agora, aplicamos as propriedades das integrais trigonométricas:

$dt=0int_0^{2pi} a_0 sin(n t) , dt = 0$ , pois a integral do seno em um período completo é zero.
$dt=0int_0^{2pi} cos(n t) sin(n t) , dt = 0$ , para quaisquer valores inteiros de $n$ .
$dt=πint_0^{2pi} sin^2(n t) , dt = pi$ .

Com isso, os termos que contêm $a_0$ e $a_n$ desaparecem, restando apenas o termo com $b_n$ :

$dtint_0^{2pi} f(t) sin(n t) , dt = b_n int_0^{2pi} sin^2(n t) , dt$

Como já vimos, $dt=πint_0^{2pi} sin^2(n t) , dt = pi$ , logo:

$dt=bn⋅πint_0^{2pi} f(t) sin(n t) , dt = b_n cdot pi$

Finalmente, isolamos $b_n$ :

$dtb_n = frac{1}{pi} int_0^{2pi} f(t) sin(n t) , dt$

Conclusão

Agora temos as três fórmulas fundamentais da Série de Fourier:

Coeficiente $a_0$ (média da função):

$dta_0 = frac{1}{2pi} int_0^{2pi} f(t) , dt$
Coeficientes $a_n$ (termos de cosseno):

$dta_n = frac{1}{pi} int_0^{2pi} f(t) cos(n t) , dt$
Coeficientes $b_n$ (termos de seno):

$dtb_n = frac{1}{pi} int_0^{2pi} f(t) sin(n t) , dt$

Com essas expressões, podemos calcular os coeficientes para diferentes funções periódicas. Nos próximos vídeos, aplicaremos esses resultados para determinar os coeficientes da Série de Fourier de um pulso quadrado e analisaremos como essa série se aproxima da função original.

Versão original criada por Sal Khan.

Determinação de bnb_nbn​

Conclusão

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Determinação de $b_n$